Question

9．构造数组，规则如下：第一组是两个1，即（1，1），第二组是（1，2a，1），第三组是（1，a（1+2a），2a，a（2a+1），1）…，在每一组的相邻两个数组之间插入这两个数的和的a倍得到下一组，其中a∈（0，$\frac{1}{4}$），设第n组有a_n个数，且这a_n个数的和为S_n（n∈N^*）．
（1）求a_n和S_n；
（2）求证：$\frac{{a}_{1}-1}{{S}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{S}_{n}}$≥$\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据数列构造的规则可知a_n=a_n-1+（a_n-1-1）=2a_n-1-1，即a_n-1=2（a_n-1-1）．将上式进行迭代，即可得到a_n-1=2^n-1（a₁-1）=2^n-1．故a_n=2^n-1+1，同理可求出S_n．
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{S}_{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（2a+1）^{n-1}+1}$，利用不等式证明{b_n}是递增数列即可得出结论．

解答 解：（1）由题意可知a₁=2，当n≥2时，a_n=a_n-1+（a_n-1-1）=2a_n-1-1，∴a_n-1=2（a_n-1-1）．
∴a_n-1=2^n-1（a₁-1）=2^n-1．∴a_n=2^n-1+1．
由数列的构造规则可知S₁=2，S_n=S_n-1+2aS_n-1-2a=（2a+1）S_n-1-2a，
∴S_n-1=（2a+1）（S_n-1-1）=（2a+1）^n-1（S₂-1）=（2a+1）^n-1，∴S_n=（2a+1）^n-1+1．
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{S}_{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（2a+1）^{n-1}+1}$，则b_n+1=$\frac{{2}^{n}}{（2a+1）^{n}+1}$，
∵a∈（0，$\frac{1}{4}$），∴1＜2a+1＜2，∴（2a+1）ⁿ＜2（2a+1）^n-1，∴（2a+1）ⁿ+1＜2（2a+1）^n-1+2，
∴$\frac{{2}^{n}}{（2a+1）^{n}+1}$＞$\frac{{2}^{n}}{2（2a+1）^{n-1}+2}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（2a+1）^{n-1}+1}$．即b_n+1＞b_n．∴{b_n}是递增数列．
∴b_n＞b_n-1＞b_n-2＞…＞b₂＞b₁=$\frac{1}{2}$．
∴b_n+b_n-1+b_n-2+…+b₂+b₁≥$\frac{n}{2}$，即$\frac{{a}_{1}-1}{{S}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{S}_{n}}$≥$\frac{n}{2}$．

点评 本题考查了数列的通项公式，递推公式的应用，考查数列与不等式的联系，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．