Question

15．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上一点，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．
（1）若$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，求x，y的值；
（2）若$\overrightarrow{BP}$=3$\overrightarrow{PA}$，|$\overrightarrow{OA}$|=4，|$\overrightarrow{OB}$|=2，且$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为60°，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{OP}$，根据平面向量的基本定理得出x，y；
（2）用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{AB}$，代入数量积公式计算．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，∴$\overrightarrow{BP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$）=$\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$∴x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{BP}$=3$\overrightarrow{PA}$，∴$\overrightarrow{BP}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BA}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{BP}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OB}$，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=4×2×cos60°=4.$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OA}$²=16，$\overrightarrow{OB}$²=4，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）=-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$²$+\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OB}$²=-$\frac{3}{4}$×16+$\frac{1}{2}$×4+$\frac{1}{4}$×4=-9．

点评 本题考查了平面向量的基本道理，向量的数量积运算，属于中档题．