Question

15．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=9，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n≠a₁时，数列{b_n}满足b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列前n项和公式、通项公式及等比数列性质，列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由a_n≠a₁，各b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2ⁿ⁺¹，由此能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=9，a₁，a₃，a₇成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1+6d）}}\\{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=0}\end{array}\right.$时，a_n=3；
当$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$时，a_n=2+（n-1）=n+1．
（2）∵a_n≠a₁，∴a_n=n+1，∴b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2ⁿ⁺¹，
∴${b}_{1}={2}^{2}=4$，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2，
∴{b_n}是以4为首项，以2为公比的等比数列，
∴T_n=$\frac{{b}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺²-4．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．