Question

4．如图，已知圆M：（x-3）²+（y-3）²=4，六边形ABCDEF为圆M的内接正六边形，N为AB的中点，当正六边形ABCDEF绕圆心M转动时，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{OC}$的最大值是3$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 运用向量的三角形法则，结合向量的数量积的定义及几何意义，$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MC}$=0，再由向量的数量积定义及余弦函数的值域即可得到最大值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MC}$，
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{MN}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MC}$）=$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MC}$，
∵$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MC}$=|$\overrightarrow{MN}$|•|$\overrightarrow{MC}$|cos∠NMC=$\sqrt{3}$×2×cos90°=0，
由于圆M：（x-3）²+（y-3）²=4，则圆心M（3，3），半径r=2，
则OM=3$\sqrt{2}$，MN=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OM}$=-$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MO}$=-3$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{MO}$＞∈[-3$\sqrt{6}$，3$\sqrt{6}$]，
∴（$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{OC}$）_max=3$\sqrt{6}$．
故答案为：3$\sqrt{6}$

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，属于中档题．