Question

如图，已知抛物线y²=2px（p＞0），焦点为F，准线为直线l，P为抛物线上的一点，过点P作l的垂线，垂足为点Q．当P的横坐标为3时，△PQF为等边三角形．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于A，B两点，交直线l于点M，交y轴于G．
①若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求证：λ₁+λ₂为常数；
②求

GA

•

GB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义求出△PQF的边长为3+

p

2

，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到|FQ|，列出方程求出p的值，得到抛物线的方程．
（2）①设出直线的方程，求出M，G的坐标，将已知条件

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

用坐标表示，求出λ₁+λ₂为常数．
②将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到A，B的坐标和与积，；利用向量的数量积公式表示出

GA

•

GB

，将韦达定理得到值代入，求出其范围．

解答：解：（1）据题意知，P（3，

6p

），△PQF为等边三角形，其边长为3+

p

2

，Q（-

p

2

，

6p

)，F(

p

2

，0)
所以

p2+6p

=3+

p

2

，解得p=2
所以抛物线的方程y²=4x
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-1）
所以

AF

=(1-x1，-y1)； 

BF

=(1-x2，-y2)
M（-1，-3k），G（0，-k）
所以

MA

=(x1+1，y1+3k)；

MB

=(x2+1，y2+3k)
因为

MA

=λ1

AF

；

MB

=λ2

BF

所以λ₁=λ₂=1，所以λ₁+λ₂=2
②由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
△=16k²+16＞0
所以x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁•x₂=1，
y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=-4；y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=

4

k

所以

GA

•

GB

=x1x2+y1y2+k(y1+y2)+k2
=k²+1≥1
所以

GA

•

GB

的取值范围为[1，+∞）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．