Question

【题目】正整数的所有约数之和用表示，（比如）.试答下列各问：

（1）证明：如果和互质，那么；

（2）当是的约数（），且.试证是质数.其次，如果是正整数，是质数，试证也是质数；

（3）设（为正整数，为奇数），且.试证存在质数，使得.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析(3) （为质数）

【解析】

（1）设的约数为，的约数为.因，互质，故的约数是（，）.有

.

（2）因，，1是的约数，如果，则，故.因此仅当时，才能有，亦即对来说，除和1之外再无约数，故为质数.一般地，由

，

如果，则

，

它的任何一个因数也不为1，因此非质数.

（3）因为和互质.

.

另一方面，由，

， ①

因为是奇数，故（是奇数），由①得，亦即，是的约数.，因此，由此引用（2）的前半部，，为质数.

则 是质数，

即 是质数.

综合以上可得（为质数）.