Question

已知f（x）=|x-a|．
（1）若a=1，作出f（x）的图象；
（2）当x∈[1，2]，求f（x）的最小值；
（3）若g（x）=2x²+（x-a）|x-a|，求函数的最小值．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，f（x）=|x-1|，作出其图象即可；
（2）对a分a∈（-∞，1），a∈[1，2]，a∈（2，+∞）三种情况讨论，再结合在相应区间上的单调性即可求得x∈[1，2]时f（x）的最小值；
（3）为了去掉绝对值符号，可分x≥a与x≤a两种情况讨论，再结合二次函数的性质即可求函数的最小值．

解答：解：（1）因为a=1，作图如下（2分）
（2）①当a∈（-∞，1）时，f（x）=|x-a|=x-a，
因为f（x）在[1，2]递增，
所以f（x）_min=f（1）=1-a；----------（4分）
②当a∈[1，2]时，当x=a时，f（x）_min=0
③当a∈（2，+∞）时，f（x）=|x-a|=a-x，
因为f（x）在[1，2]递减，
所以f（x）_min=f（2）=a-2----------（6分）
综上所述f(x)=

1-a，a＜1 0，1≤a≤2 a-2，a＞2

----------（8分）
（3）①当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²=3(x-

a

3

)2+

2

3

a²，
∴若a≥0，f（x）在[a，+∞）上单调递增，f（x）_min=f（a）=2a²；
若a＜0，f（x）在[

a

3

，+∞）上单调递增，f（x）_min=f（

a

3

）=

2

3

a²；
②当x≤a时，f（x）=x²+2ax-a²=（x+a）²-2a²，
若a≥0，f（x）在（-∞，-a]上单调递减[-a，a）上单调递增，f（x）_min=f（-a）=-2a²；
若a＜0，f（x）在（-∞，a]上单调递减，f（x）_min=f（a）=2a²；
综上f(x)min=

-2a2，a≥0 2a2 3 ，a＜0

----------（12分）

点评：本题考查带绝对值的函数，关键在于去掉函数式中的绝对值符号，方法是分类讨论，重点考查分类讨论思想与转化的思想，难点在于对含参数的二次函数的最值的研究，属于难题．