Question

定义域在R上的奇函数f（x）
（1）若f（x）在[0，+∞）上增函数，求不等式f（2-x）+f（4-x²）＞0的解集；
（2）若x＞0时，f（x）=x-x²，求x＜0时，f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先满足定义域得x≤2和-2≤x≤2；由递增性得-3＜x＜2，取交集可得解集．
（2）x＜0，则-x＞0，因为x＞0时，f（x）=x-x²，所以f（-x）=-x-x²；由奇函数可得f（x）=-f（-x）=x²+x．

解答： （1）首先满足定义域：2-x≥0，得x≤2；
4-x²≥0，得-2≤x≤2；
f（2-x）+f（4-x²）＞0即：f（2-x）＞-f（4-x²），
因为奇函数满足f（-x）=-f（x），
所以-f（4-x²）=f（x²-4），所以f（2-x）＞f（x²-4），
由递增性：2-x＞x²-4，即x²+x-6＜0，即（x+3）（x-2）＜0，得-3＜x＜2；
结合定义域得：-2≤x＜2
所以不等式f（2-x）+f（4-x2）＞0的解集为：-2≤x＜2
（2）令x＜0，则-x＞0，因为x＞0时，f（x）=x-x²，所以f（-x）=-x-x²；由奇函数：
f（x）=-f（-x）=x²+x
即x＜0时，f（x）=x²+x

点评：本题主要考察函数奇偶性的性质和应用，属于中档题．