Question

已知点M，N的坐标分别是（0，2）和（0，-2），点P是二次函数y=

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x2的图象上的一个动点．
（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-2的位置关系，并说明理由；
（2）设直线PM与二次函数y=

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x2的图象的另一个交点为Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM；
（3）过点P，Q分别作直线y=-2的垂线，垂足分别为H，R，取QH中点为E，求证：QE⊥PE．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）首先假设出P点坐标，进而表示出PM的长和点P到直线y=-2的距离，进而比较得出直线与圆的位置关系．
（2）根据（1）中所求得出PH=PM，进而得出PH∥MN∥QR，则Rt△PHN∽Rt△QRN，即可得出∠HNP=∠RNQ，求出即可．
（3）取PQ中点F，连接EF，EF=

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2

(QR+PH)，由PH=PM，QM=QR，则EF=

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2

(QM+PM)=

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2

QP，利用三角形一边上的中线等于这边的一半，此三角形是直角三角形，即可得出答案．

解答： （1）解：设点P的坐标为(x0，

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x02)，
则PM=

x02+( 1 8 x02-2)2

=

( 1 8 x02+2)2

=

1

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x02+2，
而点P到直线y=-2的距离为

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x02-(-2)=

1

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x02+2，
∴以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-2相切．
（2）证明：由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．
∵PH，MN，QR都垂直于直线y=-2，
∴PH∥MN∥QR，
∴

QM

RN

=

MP

NH

，即

QR

RN

=

PH

HN

，
∴Rt△PHN∽Rt△QRN，
∴∠HNP=∠RNQ，
∴∠PNM=∠QNM．
（3）证明：取PQ中点F，连接EF，
则EF=

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2

(QR+PH)．
又由上知，PH=PM，QM=QR，
所以EF=

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2

(QM+PM)=

1

2

QP
即∠QEP=90°，
故QE⊥PE．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及相似三角形的判定与性质以及直角三角形的判定等知识，利用数形结合作出辅助线再根据直角三角形的判定得出是解题关键．