Question

9．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n²+n，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前项和为S_n，数列{b_n}的通项公式为b_n=n-8，则b_nS_n的最小值为-4．

Answer 1

分析 通过${a_n}={n^2}+n$可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，累加可得S_n=$\frac{n}{n+1}$，利用配方法及基本不等式即得结论．

解答 解：由${a_n}={n^2}+n$，可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前项和为S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=1$-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
又∵b_n=n-8，
∴b_nS_n=$\frac{n（n-8）}{n+1}$
=$\frac{（n+1）^{2}-10（n+1）+9}{n+1}$
=$（n+1）+\frac{9}{n+1}-10$
≥$2\sqrt{（n+1）•\frac{9}{n+1}}$-10
=-4，
当且仅当n+1=$\frac{9}{n+1}$，即n=2时等号成立，
故答案为：-4．

点评 本题考查数列的前n项和，考查配方法，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．