Question

1．a＞0，b＞0且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{ab}$
（1）求证a⁴+b⁴≥8．
（2）是否存在a，b使得2a+b=4？

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质即可证明，
（2）利用反证法即可证明

解答 证明：（1）a＞0，b＞0，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{ab}$所以：$\frac{a+b}{ab}$=$\sqrt{ab}$，
所以：a+b=（ab）${\;}^{\frac{3}{2}}$≥2$\sqrt{ab}$  所以：ab≥2仅当a=b取得等号
所以：a⁴+b⁴≥2a²b²=8  仅当a=b取得等号，
（ 2）2a+b≥2$\sqrt{2ab}$，当且当2a=b取得等号，又ab≥2仅当a=b取得等号
所以：2a+b≥4，仅当a=b=0取得等号与题目条件矛盾
所以不存在a、b使得2a+b=4

点评 本题考查基本不等式在最值中的应用，考查转化思想，以及计算能力．