Question

已知函数f（x）=x-x^-1，若不等式f（2^x+3+2^a）＜f（4^x+1+2^2a-1）对任意x都成立，则实数a的取值范围是

（2，+∞）

．

Answer 1

分析：求出函数的定义域和导数，再由导数值的符号判断出函数的单调性，再把不等式转化为“2^x+3+2^a＜4^x+1+2^2a-1对任意x都成立”，再换元：t=2^a代入后分离出t后，再构造函数y=-4•2^2x+8•2^x，把“2^x”作为一个整体，利用配方法和二次函数的性质求出最小值，再求出a的范围．

解答：解：由题意得，函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），
f′（x）=1+x^-2=

x2+1

x2

＞0，
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增，
∵f（2^x+3+2^a）＜f（4^x+1+2^2a-1）对任意x都成立，
且2^x+3+2^a＞0，4^x+1+2^2a-1＞0，
∴2^x+3+2^a＜4^x+1+2^2a-1对任意x都成立，
设t=2^a，则t＞0，代入2^x+3+2^a＜4^x+1+2^2a-1得，
2^x+3+t＜4^x+1+

1

2

•t²，
即

1

2

t²-t＞2^x+3-4^x+1=-4•2^2x+8•2^x对任意x都成立，
令y=-4•2^2x+8•2^x=-4（2^x-1）²+4≤4，且2^x＞0，
∴

1

2

t²-t＞4，解得t＞4或t＜-2（舍去），
∴2^a＞4，解得a＞2，
综上得，实数a的取值范围是（2，+∞），
故答案为（2，+∞）．

点评：本题考查了利用导数判断函数的单调性，二次函数的性质，考查了分离常数法处理恒成立成立问题，以及配方法和换元法，涉及的方法多，注意总结和灵活应用．