Question

如图，矩形ABCD所在的平面与四边形ABEF所在的平面互相垂直，已知四边形ABEF为等腰梯形，点O为AB的中点，M为CD的中点，AB∥EF，AB=2，AF=EF=1．
（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（2）若直线AM与平面CBF所成角的正弦值为

5

10

，求AD的长．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面DAF⊥平面CBF；
（2）根据线面所成的角的定义建立条件关系即可求AD的长

解答： 解：（1）过F作FG⊥AB，
∵四边形ABEF为等腰梯形，且AB=2，AF=EF=1，
∴AG=

1

2

，∠BAF=60°，
∵余弦定理得BF=

3

，
∴AF²+BF²=AB²，
即AF⊥BF，
∵矩形ABCD，∴BC⊥AB，
∵面ABCD⊥面ABEF，面ABCD∩面ABEF=AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥BC，
∵BF∩BC=B，
∴AF⊥面CBF，
∵AF⊥面DAF，
∴平面DAF⊥平面CBF
（2）连结OC，则AM∥OC，
则直线OC与平面CBF所成的角即可为直线AM与CBF所成的角，
取BF的中点H，连结OH，
∵O，H分别是AB，BF的中点，∴OH∥AF，
由（1）知，AF⊥面CBF，
∴OH⊥面CBF，
即∠OCH即为所求角，
设AD=t，则OC=AM=

1+t2

，
则sin∠OCH=

OH

OC

=

1 2

1+t2

=

5

10

，解得t=2，
∴AD=2．

点评：本题主要考查面面垂直的判定以及线面所成角的定义，要求熟练掌握常见的定理，综合性较强．