Question

已知函数f（x）=b•a^x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x+1-2m≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数解析式的求解及常用方法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把点A（1，8），B（3，32）代入函数f（x）=b•a^x，求得a、b的值，可得f（x）的解析式．
（2）不等式即 m≤

1

2

•[(

1

2

)x]2+

1

2

•(

1

2

)x+

1

2

，令t=(

1

2

)x，则 m≤

1

2

•t²+

1

2

t+

1

2

．利用二次函数的性质求得g（t）=

1

2

•t²+

1

2

t+

1

2

 的最小值，可得m的范围．

解答： 解：（1）把点A（1，8），B（3，32）代入函数f（x）=b•a^x，可得

ab=8 b•a3=32

，求得

a=2 b=4

，∴f（x）=4•2^x．
（2）不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x+1-2m≥0，即 m≤

1

2

•[(

1

2

)x]2+

1

2

•(

1

2

)x+

1

2

．
令t=(

1

2

)x，则 m≤

1

2

•t²+

1

2

t+

1

2

．
记g（t）=

1

2

•t²+

1

2

t+

1

2

=

1

2

•(t+

1

2

)2+

3

8

，由x∈（-∞，1]，可得t≥

1

2

．
故当t=

1

2

时，函数g（t）取得最小值为

7

8

．
由题意可得，m≤g（t）_min，∴m≤

7

8

．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，函数的恒成立问题，二次函数的性质应用，属于基础题．