Question

如图，三棱锥中，是的中点，，，，，二面角的大小为．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）取BD中点M，连结MA，MB得到
又，即 
又
平面
证得，证，平面 ；
(2)直线与平面所成角的正弦值为．

试题分析：（1）取BD中点M，连结MA，MB            1分
所以
又，即            2分
又
即为的平面角           4分
所以
，平面
                5分
在中，，如图②，取AM中点O
则知为正三角形，

即            6分
又
平面            7分
(2)解法一、向量法：
建立如图直角坐标系M-xyz           8分

，，， 
，，        9分
设平面的法向量为，即有       10分
得                          11分
设直线与平面所成角为
则                     13分
即直线与平面所成角的正弦值为．            14分
解法二、几何法：提示：取AB中点N   
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。