Question

双曲线的两条渐进线方程分别为x-

3

y=0和x+

3

y=0，双曲线上的点满足不等式x²-3y²＜0，已知双曲线的焦距为4，则双曲线的准线方程为（　　）

• A．x=±

  1

  2

• B．y=±

  1

  2

• C．x=±

  3

  2

• D．y=±

  3

  2

Answer 1

分析：先根据双曲线上的点满足不等式x²-3y²＜0，得出双曲线焦点所在的坐标轴，再设出双曲线的标准方程，进而根据渐近线方程和焦距联立方程求得a和b，答案可得．

解答：解：不等式x²-3y²＜0即（x-

3

y）（x+

3

y）＜0，此不等式表示的平面区域为双曲线的两条渐近线x-

3

y=0和x+

3

y=0相交所成的上下的对角区域．
∴双曲线的焦点必在y轴上，
∵当双曲线焦点在y轴上时，渐近线方程为y=±

a

b

x，
所以

a

b

=

1

3

，又2c=4，且a²+b²=c²，
联立解得a=1，b=

3

．
则双曲线的准线方程为：y=±

a2

c

即y=±

1

2

故选C．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、二元一次不等式表示的平面区域等基本知识．属基础题．