Question

（理）已知函数f(x)=ln(ax+2)+

1

x

（a＞0）
（Ⅰ）若f（x）在x=2处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=2处取得极值，则f'（2）=0，求出a的值，然后验证即可；
（II）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

a

ax+2

-

1

x2

（x＞-

2

a

），
∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f′(2)=

a

2a+2

-

1

4

=0，得a=1…（3分）
经检验，a=1时，f（x）x=2处取得极小值，
∴a=1…（4分）
（Ⅱ）由f′(x)=

a

ax+2

-

1

x2

＞0及ax+2＞0，a＞0，
整理得

ax2-ax-2＞0(1) x＞- 2 a (2)

由（1）得x＜

a- a2+8a

2a

或x＞

a+ a2+8a

2a

…（7分）
∵a＞0，
∴

a2+8a

＜

a2+8a+16

=a+4
∴-4＜a-

a2+8a

，得-

2

a

＜

a- a2+8a

2a

∴-

2

a

＜x＜

a- a2+8a

2a

或 x＞

a+ a2+8a

2a

…（11分）
∴f（x）的单调递增区间是：(-

2

a

，

a- a2+8a

2a

)，(

a+ a2+8a

2a

，+∞)…（12分）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的定义域、对数函数图象与性质的综合应用等知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想．解答的关键是会利用导数研究函数的单调区间．