【题目】已知函数(其中
为自然对数的底数).
(1)若,求函数
在区间
上的最大值;
(2)若,关于
的方程
有且仅有一个根, 求实数
的取值范围;
(3)若对任意,不等式
均成立, 求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】试题(Ⅰ)求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的最大值即可;(Ⅱ)若a=-1,关于x的方程f(x)=kg(x)有且仅有一个根,即,有且只有一个根,令
,可得h(x)极大=h(2)=
,h(x)极小=h(1)=
,进而可得当k>
或0<k<
时,k=h(x)有且只有一个根;(Ⅲ)设
,因为
在[0,2]单调递增,故原不等式等价于|f(x1)-f(x2)|<g(x2)-g(x1)在x1、x2∈[0,2],且x1<x2恒成立,当a≥-(ex+2x)恒成立时,a≥-1;当a≤ex-2x恒成立时,a≤2-2ln2,综合讨论结果,可得实数a的取值范围
试题解析:(1)当时,
, 故
在
上单调递减,
上单调递增, 当
时,
, 当
时,
, 故在区间
上
.
(2)当时, 关于
的方程为
有且仅有一个实根, 则
有且仅有一个实根, 设
,则
,
因此在
和
上单调递减, 在
上单调递增,
, 如图所示, 实数
的取值范围是
.
(3)不妨设,则
恒成立.
因此恒成立, 即
恒成立,
且恒成立, 因此
和
均在
上单调递增,
设,
则在上
上恒成立, 因此
在
上恒成立因此
,而
在
上单调递减, 因此
时,
.由
在
上恒成立, 因此
在
上恒成立, 因此
,设
,则
.当
时,
, 因此
在
内单调递减, 在
内单调递增,因此
.综上述,
.
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【题目】已知命题p:“曲线C1:=1表示焦点在x轴上的椭圆”,命题q:“曲线C2:
表示双曲线”.
(1)若命题p是真命题,求m的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求t的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=2lnx﹣2mx+x2(m>0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当时,若函数f(x)的导函数f′(x)的图象与x轴交于A,B两点,其横坐标分别为x1,x2(x1<x2),线段AB的中点的横坐标为x0,且x1,x2恰为函数h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零点.求证(x1﹣x2)h'(x0)≥
+ln2.
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【题目】给出以下四个命题:
(1)命题,使得
,则
,都有
;
(2)已知函数f(x)=|log2x|,若a≠b,且f(a)=f(b),则ab=1;
(3)若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等,则平面α平行于平面β;
(4)已知定义在上的函数
满足条件
,且函数
为奇函数,则函数
的图象关于点
对称.
其中真命题的序号为______________.(写出所有真命题的序号)
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【题目】已知直线.
(1)若直线不经过第四象限,求
的取值范围;
(2)若直线交
轴负半轴于点
,交
轴正半轴于点
,
为坐标原点,设
的面积为
,求
的最小值及此时直线
的方程.
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【题目】某花圃为提高某品种花苗质量,开展技术创新活动,在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况,分别在实验地随机抽取各
株,对每株进行综合评分,将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为
及以上的花苗为优质花苗.
求图中
的值,并求综合评分的中位数.
用样本估计总体,以频率作为概率,若在
两块试验地随机抽取
棵花苗,求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望;
填写下面的列联表,并判断是否有
的把握认为优质花苗与培育方法有关.
附:下面的临界值表仅供参考.
(参考公式:,其中
.)
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