【题目】已知函数f(x)=2lnx﹣2mx+x2(m>0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当时,若函数f(x)的导函数f′(x)的图象与x轴交于A,B两点,其横坐标分别为x1,x2(x1<x2),线段AB的中点的横坐标为x0,且x1,x2恰为函数h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零点.求证(x1﹣x2)h'(x0)≥+ln2.
【答案】(1)当0<m≤2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;当m>2时,f(x)在内单调递减,在,内单调递增; (2)见解析.
【解析】
(1)由题易知,然后将其看成二次函数,讨论根与系数之间的关系和判别式对其进行分析,得出单调性;
(2)求出函数的导函数,表示出,令,由,根据函数的单调性证明即可.
(1)由于f(x)=2lnx﹣2mx+x2的定义域为(0,+∞), .
对于方程x2﹣mx+1=0,其判别式△=m2﹣4.
当m2﹣4≤0,即0<m≤2时,f'(x)≥0恒成立,故f(x)在(0,+∞)内单调递增.
当m2﹣4>0,即m>2,方程x2﹣mx+1=0恰有两个不相等是实根,
令f'(x)>0,得或,此时f(x)单调递增;
令f'(x)<0,得,此时f(x)单调递减.
综上所述,当0<m≤2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当m>2时,f(x)在内单调递减,
在,内单调递增.
(2)证明:由(1)知, ,
所以f'(x)的两根x1,x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根.
因为,所以△=m2﹣4>0,x1+x2=m,x1x2=1.
又因为x1,x2为h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零点,
所以,
两式相减得,
得 .而,
所以(x1﹣x2)h'(x0)=
=
令,由得,
因为x1x2=1,两边同时除以x1x2,得,
因为,故,解得 或t≥2,所以.
设 ,所以,
则y=G(t)在上是减函数,所以,
即y=(x1﹣x2)h'(x0)的最小值为.
所以 .
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【题目】某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测,为了了解玩家对游戏的体验感,研究人员随机调查了300名玩家,对他们的游戏体验感进行测评,并将所得数据统计如图所示,其中.
(1)求这300名玩家测评分数的平均数;
(2)由于该公司近年来生产的游戏体验感较差,公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测,如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进,则公司将回收该款游戏进行改进;若3人中仅1人认为游戏需要改进,则公司将另外聘请2位专家二测,二测时,2人中至少有1人认为游戏需要改进的话,公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为,且每款游戏之间改进与否相互独立.
(i)对该公司的任意一款游戏进行检测,求该款游戏需要改进的概率;
(ii)每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人,今年所有游戏的研发总费用为50万元,现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测,假设公司的预算为110万元,判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算,并通过计算说明.
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【题目】某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图:
则下列结论正确的是
A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比,2018年二本达线人数增加了倍
C. 2015年与2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加
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【题目】经调查,3个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:
年龄x | 28 | 32 | 38 | 42 | 48 | 52 | 58 | 62 |
收缩压单位 | 114 | 118 | 122 | 127 | 129 | 135 | 140 | 147 |
其中:,,
请画出上表数据的散点图;
请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;的值精确到
若规定,一个人的收缩压为标准值的倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的倍及以上,则为高度高血压人群一位收缩压为180mmHg的70岁的老人,属于哪类人群?
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【题目】已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)若,求函数在区间上的最大值;
(2)若,关于的方程有且仅有一个根, 求实数的取值范围;
(3)若对任意,不等式均成立, 求实数的取值范围.
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【题目】如图所示,在三棱柱中,平面是线段上的动点,是线段上的中点.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,且直线所成角的余弦值为,试指出点在线段上的位置,并求三棱锥的体积.
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