Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是菱形，且．

证明：；

求平面与平面所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

取AD的中点E，连结PE，BE，BD，推导出，，从而平面PBE，由此能证明．

，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，再求出平面PBC的一个法向量1，，利用向量法即可求出平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．

证明：取AD的中点E，连结PE， BE，BD，

四边形ABCD是菱形，，

是等边三角形，，

同理，得，

又，平面PBE，平面PBE，

平面PBE，

又平面PBE，．

平面平面ABCD，

由可知EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，

由题意得，

则0，，，，0，，

，，，

设平面PBC的一个法向量y，，

由，取，得1，，

由得是平面PAD的一个法向量，

，，，

平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为．