Question

已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.

（1）若、R且，证明：函数必有局部对称点；

（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；

（3）若函数在R上有局部对称点，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）详见解析;（2） ;（3）

【解析】

试题分析：（1）由和得到关于的方程（），其中，由于且，所以恒成立，所以函数（）必有局部对称点；（2）方程在区间上有解，于是 ，利用换元法，即可求出结果；（3）由于， 所以（*）在上有解，令（），则，所以方程（*）变为在区间内有解，需满足条件：

，解不等式，即可求出m的取值范围.

试题解析：【解析】
:（1）由得1分

代入得，，

得到关于的方程（），2分

其中，由于且，所以恒成立3分

所以函数（）必有局部对称点。4分

（2）方程在区间上有解，于是5分

设（），，6分

7分 其中9分

所以10分

（3），11分

由于，所以13分

于是（*）在上有解14分

令（），则，15分

所以方程（*）变为在区间内有解，需满足条件：

16分

即，化简得18分.

考点：1.新定义；2.换元法求函数的最值；3.恒成立问题.