Question

设x＞0，y＞0，且

1

x

+

1

2y

=4，z=2log₄x+log₂y，则z的最小值是（　　）

• A．-4
• B．-3
• C．-log₂6
• D．2log₂

  3

  8

Answer 1

分析：由4=

1

x

+

1

2y

≥2

1 x • 1 2y

=2

1 2xy

，利用基本不等式即可求解xy的最小值，又z=2log₄x+log₂y=log₂x+log₂y=log₂xy，从而得出z的最小值．

解答：解：∵x＞0，y＞0，且

1

x

+

1

2y

=4，
∴4=

1

x

+

1

2y

≥2

1 x • 1 2y

=2

1 2xy

，
∴

1 2xy

≤2，
∴xy≥

1

8

，当且仅当x=2y时取等号．
∴z=2log₄x+log₂y=log₂x+log₂y=log₂xy≥log₂

1

8

=-3，
则z的最小值是-3．
故选B．

点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关系是对数的运算性质进行化简．属于基础题．