Question

10．已知函数$f（x）=a+\frac{2}{{{2^x}-1}}（a∈R）$．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）是否存在实数a，使函数f（x）为奇函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据分式中分母不能为0，即可求得定义域．
（Ⅱ）直接利用奇偶性的定义进行假设后判断求值．

解答 解：（Ⅰ）由题意：∵2^x-1≠0，
解得：x≠0
∴函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}．
（Ⅱ） 解法一：
函数定义域关于原点对称，假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，那么必有f（x）在x=±1时均有定义，
且f（x）为奇函数，
∴$f（-1）+f（1）=2a+\frac{2}{{\frac{1}{2}-1}}+\frac{2}{2-1}=2a-2=0$，解得：a=1．
此时，$f（x）=1+\frac{2}{{{2^x}-1}}=\frac{{{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}$．
∵$f（-x）=1+\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}=\frac{{1+{2^x}}}{{1-{2^x}}}$，
∴f（-x）=-f（x）
∴存在实数a=1使函数f（x）为奇函数．
解法二：函数定义域关于原点对称，假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
∵$f（-x）=a+\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}$，$f（x）=a+\frac{2}{{{2^x}-1}}$，
∵f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x）
则有$a+\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}=-（a+\frac{2}{{{2^x}-1}}）$，
整理得：2a=2，解得：a=1．
∴存在实数a=1使函数f（x）为奇函数．

点评 本题考查了函数定义域的求法和奇偶性的判断．属于基础题．