Question

18．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），cos$α=\frac{3}{5}$．
（1）求tan2α的值；
（2）求sin（2$α+\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由α∈（0，$\frac{π}{2}$），cos$α=\frac{3}{5}$．利用同角三角函数基本关系式即可得出．
（2）由cos$α=\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．利用倍角公式与和差公式即可得出．

解答 解：（1）∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），cos$α=\frac{3}{5}$．∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$．
∴$tanα=\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{4}{3}$．
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{4}{3}}{1-（\frac{4}{3}）^{2}}$=$-\frac{24}{7}$．
（2）∵cos$α=\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．
∴sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$，cos2α=2cos²α-1=2×$（\frac{3}{5}）^{2}$-1=-$\frac{7}{25}$．
∴sin（2$α+\frac{π}{4}$）=$sin2α•cos\frac{π}{4}$+$cos2αsin\frac{π}{4}$=$\frac{24}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式与和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．