Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于点（1，1）对称，且f（x）=2^x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-λg（x）+2λ（λ＞0）在[1，+∞）上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于点（1，1）的对称点为P（x，y），则

x0+x 2 =1 y0+y 2 =1

即

x0=2-x y0=2-y.

由点Q（x₀，y₀）在函数y=f（x）的图象上可得，y0=2x0，从而可求y=f（x）
（Ⅱ） 由（I）可得h（x）=2x+

4λ

2x

在[1，+∞）上是增函数，即可得当1≤x₁＜x₂时，h（x₂）-h（x₁）＞0，⇒2x1+x2＞4λ，从而可求

解答：解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于点（1，1）的对称点为P（x，y），则

x0+x 2 =1 y0+y 2 =1

即

x0=2-x y0=2-y.

（4分）
∵点Q（x₀，y₀）在函数y=f（x）的图象上，y0=2x0
∴2-y=2^2-x，即y=2-2^2-x，故g（x）=2-2^2-x．（6分）
（Ⅱ） h(x)=f(x)-λg(x)+2λ=2x-λ(2-

4

2x

)+2λ=2x+

4λ

2x

（7分）
设1≤x₁＜x₂，h(x1)-h(x2)=2x2+

4λ

2x2

-(2x1+

4λ

2x1

)
=2x2-2x1+

4λ

2x2

-

4λ

2x1

=2x2-2x1+

4λ(2x1-2x2)

2x2+x1

=(2x2-2x1)

(2x1+x2-4λ)

2x2+x1

（10分）
h（x）=f（x）-λg（x）+2λ（λ＞0）在[1，+∞）上是增函数h（x₂）-h（x₁）＞0，
(2x2-2x1)

(2x1+x2-4λ)

2x2+x1

＞0⇒2x1+x2-4λ＞0（12分）
⇒2x1+x2＞4λ，∵x₂＞x₁≥1，⇒x₂+x₁＞2，
⇒2x1+x2＞4，∴4≥4λ∴0＜λ≤1为所求                                            （14分）

点评：本题主要考查了关于点对称的函数的解析式的求解，主要利用的是中点坐标公式，函数的单调性的定义的应用及单调性中的恒成立的问题．