Question

【题目】已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．
（1）求角B．
（2）若 ，△ABC的周长为 ，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，

且bcosC=（2a﹣c）cosB，

∴bcosC+ccosB=2acosB．

∴由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，

∴sin（B+C）=2sinAcosB，∴sinA=2sinAcosB，

∴cosB= ，

∵B∈（0，π），∴B= ．

（2）解：∵ ，△ABC的周长为 ，∴a+c=7，

由余弦定理得：13=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，

（a+c）2=a2+c2+2ac=a2+c2﹣ac+3ac=13+3ac=49，

解得ac=12，

∴△ABC的面积 = =3 ．

【解析】（1）由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，再由正弦加法定理、诱导公式得sinA=2sinAcosB，从而cosB= ，由此能求出角B．（2）求出a+c=7，再由余弦定理得ac=12，由此能求出△ABC的面积．