Question

18．矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，则二面角A-BD-C的余弦值为$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 过A作AO⊥BD，交BD于O，连结A′O，由AA′⊥平面BCD，知∠AOA′是二面角A-BD-C的平面角，由此能求出二面角A-BD-C的余弦值．

解答 解：∵过A作AO⊥BD，交BD于O，连结A′O，
∵沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，
∴AA′⊥平面BCD，∴∠AOA′是二面角A-BD-C的平面角，
∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴AO=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{12}{5}$，BO=$\frac{A{B}^{2}}{BD}=\frac{9}{5}$，tan$∠CBD=\frac{CD}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
A′O=OE=BO•tan∠CBD=$\frac{9}{5}•\frac{3}{4}$=$\frac{27}{20}$，
在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，
∴$cos∠AO{A}^{'}=\frac{A{O}^{'}}{AO}=\frac{9}{16}$，
∴二面角A-BD-C的余弦值为$\frac{9}{16}$．
故答案为：$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．