Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=2

3

，b=2，cosA=-

1

2

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若f（x）=cos2x+csin²（x+B），求函数f（x）的最小正周期和单增区间．

Answer 1

（Ⅰ）由cosA=-

1

2

＜0，A∈（

π

2

，π），得到sinA=

3

2

，又a=2

3

，b=2，（2分）
由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，则sinB=

1

2

，因为A为钝角，所以B=

π

6

；（5分）
（Ⅱ）由a=2

3

，b=2，cosB=

3

2

，
根据余弦定理得：2²=c²+12-4

3

c•

3

2

，即（c-2）（c-4）=0，
解得c=2或c=4，由A为三角形的最大角，得到a=2

3

为最大边，所以c=4舍去，
故c=2，（6分）
把c=2代入得：f(x)=cos2x+2sin2(x+

π

6

)
=cos2x-cos(2x+

π

3

)+1
=cos2x-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1
=sin(2x+

π

6

)+1，（10分）
则所求函数的最小正周期为π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
则所求函数的单增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．（13分）