Question

如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁，C₁D₁，AA₁的中点，求证：
（1）GE∥平面BB₁D₁D；
（2）平面BDF∥平面B₁D₁H．

Answer 1

分析：（1）取B₁D₁的中点O，连接GO，OB，可证明四边形BEGO为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得GE∥平面BB₁D₁D；
（2）由正方体的性质易知B₁D₁∥BD，取DD₁中点P，连接AP，FP，可证BF∥D₁H，再利用面面平行的判定定理即可．

解答：证明：
（1）如图，取B₁D₁的中点O，连接GO，OB，…（1分）
易证OG∥B₁C₁，
且OG=

1

2

B₁C₁，…（2分）
BE∥B₁C₁，
且BE=

1

2

B₁C₁…（3分）
∴OG∥BE且OG=BE，…（4分）
∴四边形BEGO为平行四边形，
∴OB∥GE…（5分）
∵OB?平面BDD₁B₁，GE?平面BDD₁B₁，
∴GE∥平面BB₁D₁D…（6分）
（2）由正方体的性质易知B₁D₁∥BD，
取DD₁中点P，连接AP，FP，由于FP∥AB，且FP=AB，故四边ABFP为平行四边形，于是得AP∥FB，又HD₁∥AP，故BF∥D₁H，
∴BF∥D₁H…（9分）
∵B₁D₁?平面BDF，BD?平面BDF，
∴B₁D₁∥平面BDF…（10分）
∵HD₁?平面BDF，BF?平面BDF，
∴HD₁∥平面BDF…（11分）
又∵B₁D₁∩HD₁=D₁，
∴平面BDF∥平面B₁D₁H…（12分）

点评：本题考查直线与平面的平行的判定与平面与平面平行的判定，合理的作出辅助线是证明的难点，属于中档题．