Question

20．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+1．
（1）若f（x）在区间（-2，-1）上恰有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数y=f（2^x）有两个零点，且一个零点大于1，一个零点小于1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，检验不满足条件，可得a≠0；由△＞0，由条件利用函数零点的判定定理可得f（-2）f（-1）=（6a+5）•（-1）＜0，由此求得a的范围．
（2）由题意可得f（1）=4a-2a-4+1＜0，由此求得a的范围．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=-2x+1，不满足在区间（-2，-1）上恰有一个零点．
∴a≠0，∵△=（-a-2）²-4a=a²+4＞0，此时，若f（x）在区间（-2，-1）上恰有一个零点，
则f（-2）f（-1）=（6a+5）•（-1）＜0，求得a＞-$\frac{5}{6}$，且a≠0．
综上可得，实数a的取值范围为{a|a＞-$\frac{5}{6}$，且a≠0 }．
（2）若函数y=f（2^x）=a•2^2x-（a+2）•2^x+1 有两个零点，且一个零点大于1，一个零点小于1，
则f（1）=4a-2a-4+1＜0，求得a＜$\frac{3}{2}$，
故要求的实数a的取值范围为（-∞，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查二次函数的性质，函数零点的判定定理，属于中档题．