Question

5．已知sinα=$\frac{5}{13}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
（1）求sin（α+$\frac{π}{4}$），cos（α-$\frac{π}{6}$），tan（α+$\frac{π}{3}$）的值；
（2）求sin2α，cos2α，tan2α的值．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角差的三角公式求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵sinα=$\frac{5}{13}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{12}{13}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{5}{12}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{5}{13}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{12}{13}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{7\sqrt{2}}{26}$，
cos（α-$\frac{π}{6}$）=cosαcos$\frac{π}{6}$+sinαsin$\frac{π}{6}$=-$\frac{12}{13}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{5}{13}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{5-12\sqrt{3}}{26}$，
tan（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{tanα+tan\frac{π}{3}}{1-tanαtan\frac{π}{3}}$=$\frac{-\frac{5}{12}+\sqrt{3}}{1-（-\frac{5}{12}）•\sqrt{3}}$=$\frac{12\sqrt{3}-5}{12+5\sqrt{3}}$．
（2）由以上可得，sin2α=2sinαcosα=2•$\frac{5}{13}$•（-$\frac{12}{13}$）=-$\frac{120}{169}$，
cos2α=2cos²α-1=2•$\frac{144}{169}$-1=$\frac{119}{169}$，
tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}$=$\frac{-\frac{120}{169}}{\frac{119}{169}}$=-$\frac{120}{119}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．