Question

15．如图，F₁，F₂是椭圆C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{3b}$（e为椭圆的离心率）的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 连接PF₁，OQ，运用中位线定理可得OQ∥PF₁，|OQ|=$\frac{1}{2}$|PF₁|，求得|PF₁|=2b，由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，可得|PF₂|=2a-2b，运用勾股定理，化简可得3b=2a，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，求得$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{3b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{5}{9}}{2a}$=$\frac{1}{2}$（a+$\frac{5}{9a}$），运用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：连接PF₁，OQ，
由OQ为中位线，可得OQ∥PF₁，|OQ|=$\frac{1}{2}$|PF₁|，
圆x²+y²=b²，可得|OQ|=b，即有|PF₁|=2b，
由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
可得|PF₂|=2a-2b，
又OQ⊥PF₂，可得PF₁⊥PF₂，
即有（2b）²+（2a-2b）²=（2c）²，
即为b²+a²-2ab+b²=c²=a²-b²，
化为2a=3b，即b=$\frac{2}{3}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
则$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{3b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{5}{9}}{2a}$=$\frac{1}{2}$（a+$\frac{5}{9a}$）≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{a•\frac{5}{9a}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
当且仅当a=$\frac{5}{9a}$，即a=$\frac{\sqrt{5}}{3}$时，取得最小值$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查最值的求法，注意运用椭圆的定义和基本不等式，考查圆的切线的性质的运用，以及中位线定理和勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．