Question

3．已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n²=2a_n-1²+1；
（1）求证：{a_n²+1}是等比数列；
（2）令b_n=$\frac{2^n}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$，且数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n•（S_n+2）的值．

Answer 1

分析 （1）将等式两边加1，再由等比数列的定义，即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式，可得a_n=$\sqrt{{2}^{n}-1}$，即有b_n=$\frac{2^n}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}}{\sqrt{{2}^{n}-1}+\sqrt{{2}^{n+1}-1}}$=$\sqrt{{2}^{n+1}-1}$-$\sqrt{{2}^{n}-1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和，进而得到所求

解答 解：（1）证明：a_n²=2a_n-1²+1，可得a_n²+1=2（a_n-1²+1），
即有{a_n²+1}是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由等比数列的通项公式可得a_n²+1=2ⁿ，
可得a_n=$\sqrt{{2}^{n}-1}$，
即有b_n=$\frac{2^n}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}}{\sqrt{{2}^{n}-1}+\sqrt{{2}^{n+1}-1}}$
=$\frac{（{2}^{n+1}-1）-（{2}^{n}-1）}{\sqrt{{2}^{n}-1}+\sqrt{{2}^{n+1}-1}}$=$\sqrt{{2}^{n+1}-1}$-$\sqrt{{2}^{n}-1}$，
则S_n=$\sqrt{{2}^{2}-1}$-$\sqrt{2-1}$+$\sqrt{{2}^{3}-1}$-$\sqrt{{2}^{2}-1}$+$\sqrt{{2}^{4}-1}$-$\sqrt{{2}^{3}-1}$+…+$\sqrt{{2}^{n+1}-1}$-$\sqrt{{2}^{n}-1}$
=$\sqrt{{2}^{n+1}-1}$-1，
则S_n•（S_n+2）=（$\sqrt{{2}^{n+1}-1}$-1）（$\sqrt{{2}^{n+1}-1}$+1）=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查等比数列的通项公式，注意运用构造法，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．