Question

13．设P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一点，过原点O作焦半径PF₁的平行线交椭圆在P点处的切线于T，则OT=a．

Answer 1

分析 设椭圆的焦点F₁（-c，0），P（m，n），代入椭圆方程，对椭圆方程两边对x求导，求得切线的斜率和切线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，可得直线OT的方程，代入切线方程，可得交点T的坐标，运用两点的距离公式，化简整理可得|OT|=a．

解答 解：设椭圆的焦点F₁（-c，0），P（m，n），
可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即n²=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$）．
对$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1两边对x求导，可得
$\frac{2x}{{a}^{2}}$+$\frac{2yy′}{{b}^{2}}$=0，即有切线的斜率为-$\frac{m{b}^{2}}{n{a}^{2}}$，
则切线的方程为y-n=-$\frac{m{b}^{2}}{n{a}^{2}}$（x-m），
即为$\frac{mx}{{a}^{2}}$+$\frac{ny}{{b}^{2}}$=1，
由题意可得直线OT的方程为y=$\frac{n}{m+c}$x，
解得交点T（$\frac{{a}^{2}（m+c）}{{a}^{2}+mc}$，$\frac{{a}^{2}n}{{a}^{2}+mc}$），
则|OT|²=$\frac{{a}^{4}（{n}^{2}+（m+c）^{2}）}{（{a}^{2}+mc）^{2}}$
=$\frac{{a}^{4}[{b}^{2}（1-\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}）+{m}^{2}+2mc+{c}^{2}]}{（{a}^{2}+mc）^{2}}$=a²•$\frac{{a}^{4}+{m}^{2}{c}^{2}+2{a}^{2}mc}{（{a}^{2}+mc）^{2}}$=a²，
即有|OT|=a．
故答案为：a．

点评 本题考查椭圆的切线方程的求法和运用，考查两直线的交点的求法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．