Question

3．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-6≤0}\\{2x+y≥0}\\{y≤2}\end{array}\right.$，则$\frac{y+4}{x-7}$的取值范围为（-∞，$-\frac{8}{29}$]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．

解答 解：实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-6≤0}\\{2x+y≥0}\\{y≤2}\end{array}\right.$的可行域如图：
则$\frac{y+4}{x-7}$的几何意义是可行域内的点与D（7，-4）点连线的斜率，
由可行域可知A，C两点与D（7，-4）连线的斜率是临界值，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-2y-6=0}\end{array}\right.$解得A（10，2），$\frac{y+4}{x-7}$≥k_AD=$\frac{2+4}{10-7}$=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-6=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$解得C（$\frac{6}{5}$，-$\frac{12}{5}$），$\frac{y+4}{x-7}$≤k_CD=$\frac{-\frac{12}{5}+4}{\frac{6}{5}-7}$=$-\frac{8}{29}$，

则$\frac{y+4}{x-7}$的取值范围为：（-∞，$-\frac{8}{29}$]∪[2，+∞）．
故答案为：（-∞，$-\frac{8}{29}$]∪[2，+∞）．

点评 本题考查简单的线性规划的应用，画出可行域，判断目标函数的几何意义是解题的关键，考查计算能力，数形结合的应用．