Question

18．已知公差大于零的等差数列{a_n}，a₂+a₃+a₄=9，且a₂+1，a₃+3，a₄+8为等比数列{b_n}的前三项．
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d＞0，由a₂+a₃+a₄=9，可得3a₃=9，解得a₃．由a₂+1，a₃+3，a₄+8为等比数列{b_n}的前三项，可得$（{a}_{3}+3）^{2}$=（a₂+1）（a₄+8），代入解得d，即可得出a_n．再利用等比数列的通项公式即可得出b_n．
（2）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d＞0，∵a₂+a₃+a₄=9，∴3a₃=9，解得a₃=3．
∵a₂+1，a₃+3，a₄+8为等比数列{b_n}的前三项，
∴$（{a}_{3}+3）^{2}$=（a₂+1）（a₄+8），∴6²=（3-d+1）（3+d+8），解得d=1．
∴a_n=a₃+（n-3）d=3+n-3=n．
∴a₂+1，a₃+3，a₄+8为等比数列{b_n}的前三项，分别为：3，6，12．
∴b₁=3，公比q=$\frac{6}{3}$=2．
∴b_n=3×2^n-1．
（2）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．