Question

10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=2B．
（I ）若sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求cosC的值；
（II）若C为钝角，求$\frac{c}{b}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，利用二倍角公式可求sinA，cosA的值，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式即可计算得解．
（Ⅱ）由已知及三角形内角和定理可得0＜B＜$\frac{π}{6}$，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得$\frac{c}{b}$=4cos²B-1，由余弦函数的图象和性质可求其取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵B=$\frac{A}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosB=$\sqrt{1-sin2B}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…（1分）
∵A=2B，
∴sinA=2sinBcosB=$\frac{4}{5}$，cosA=cos2B=1-2sin²B=$\frac{3}{5}$，…（3分）
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=-$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．…（5分）
（Ⅱ）∵A=2B，
∴C=π-3B，
又$\frac{π}{2}$＜C＜π，
∴$\frac{π}{2}$＜π-3B＜π，0＜B＜$\frac{π}{6}$．…（7分）
由正弦定理，得
$\frac{c}{b}$=$\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{sin（π-3B）}{sinB}$=$\frac{sin3B}{sinB}$=$\frac{sin（2B+B）}{sinB}$=$\frac{sin2BcosB+cos2BsinB}{sinB}$
=$\frac{2sinBcos2B+cos2BsinB}{sinB}$=2cos²B+cos2B=4cos²B-1，…（10分）
∵$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜cosB＜1，
∴2＜$\frac{c}{b}$＜3，
故$\frac{c}{b}$的取值范围是（2，3）．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，余弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．