Question

10．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，C=$\frac{3π}{4}$．
（1）求证：（1+tanA）（1+tanB）=2；
（2）若b=$\sqrt{2}$a，求证：3tanA=2tanB．

Answer 1

分析 （1）由已知得1=tan$\frac{π}{4}$=tan（A+B），展开两角和的正切，化简整理得答案；
（2）把b=$\sqrt{2}$a由正弦定理化边为角，代入B=$\frac{π}{4}-A$，展开两角和的正切，求得tanA，结合（1）求得tanB，即可证得答案．

解答 证明：（1）∵C=$\frac{3π}{4}$，∴A+B=$π-\frac{3π}{4}=\frac{π}{4}$，
则1=tan$\frac{π}{4}$=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
∴1-tanAtanB=tanA+tanB．
则tanA+tanB+tanAtanB=1，
∴1+tanA+tanB+tanAtanB=2，
即：（1+tanA）（1+tanB）=2；
（2）由b=$\sqrt{2}$a，得$sinB=\sqrt{2}sinA$，
∴sin（$\frac{π}{4}-A$）=$\sqrt{2}sinA$，即sin$\frac{π}{4}cosA-cos\frac{π}{4}sinA=\sqrt{2}sinA$，
得tanA=$\frac{1}{3}$，代入（1+tanA）（1+tanB）=2，得tanB=$\frac{1}{2}$．
∴3tanA=1，2tanB=1．
则3tanA=2tanB．

点评 本题考查两角和与差的正切，考查三角函数中的恒等变换应用，属中档题．