Question

已知函数f（x）=

1

ex

-

a

x

（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：分别讨论a的取值范围，利用参数分离法，结合导数研究函数的最值即可得到结论．

解答： 解：当a=0时，f（x）=

1

ex

-

a

x

=

1

ex

＞0，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，
当a＜0时，f（x）=

1

ex

-

a

x

＞0，此时函数f（x）单调递减，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，
当a＞0时，由f（x）≥0得

1

ex

≥

a

x

，
当x＜0，

1

ex

＞0，

a

x

＜0，此时（x）=

1

ex

-

a

x

＞0，则f（x）≥0的解集为（-∞，0），不满足条件，
当x＞0时，不等式等价为a≤

x

ex

，
设g（x）=

x

ex

，
则g′(x)=

ex-xex

(ex)2

=

1-x

ex

，
当x＞1时，g′（x）＜0，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
即当x=1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）=

1

e

，
∴若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，
则必有a＜

1

e

，
即0＜a＜

1

e

，
故答案为：（0，

1

e

）

点评：本题主要考查导数的综合应用，考查分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．