Question

13．已知抛物线y=$\frac{1}{8}$x²与双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-x²=1（a＞0）有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最小值为3-2$\sqrt{3}$．．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点可得双曲线的方程，设P（m，n），由向量的数量积的坐标表示，化简整理成关于n的二次函数，由二次函数的知识可得．

解答 解：∵抛物线y=$\frac{1}{8}$x²的焦点F为（0，2），
∴双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-x²=1（a＞0）的c=2，可得a²=3，
∴双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=1，
设P（m，n），（n≥$\sqrt{3}$），则n²-3m²=3，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=（m，n）•（m，n-2）=m²+n²-2n
=$\frac{{n}^{2}}{3}$-1+n²-2n=$\frac{4{n}^{2}}{3}$-2n-1=$\frac{4}{3}$（n-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{7}{4}$，
由于区间[$\sqrt{3}$，+∞）在n=$\frac{3}{4}$的右边，故为增区间，
则当n=$\sqrt{3}$时，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$取得最小值，计算可得最小值为3-2$\sqrt{3}$．
故答案为：3-2$\sqrt{3}$

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查二次函数在区间上的最值和向量的知识，属中档题．