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正项数列项和满足成等比数列,求

解析试题分析:由已知中前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6,令n=1,我们可以求出a1,根据an=Sn-Sn-1,我可可以得到an与an-1的关系式,结合a1,a3,a15成等比数列,我们分类讨论后,即可得到满足条件的a1及an与an-1的关系,进而求出数列{an}的通项an.解:∵10Sn=an2+5an+6,①
∴10a1=a12+5a1+6,
解之得a1=2或a1=3.
又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②
由①-②得 10an=(an2-an-12)+5(an-an-1),
即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
∵an+an-1>0,∴an-an-1="5" (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1,a3,a15不成
等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12,a15=72,有 a32=a1a15
∴a1=2,∴an=5n-3.
考点:数列的通项公式
点评:本题考查的知识点是数列的通项公式,数列的函数特征,其中在已知中包含有Sn的表达式,求通项an时,an=Sn-Sn-1(n≥2)是最常用的办法.

练习册系列答案
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