Question

如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=

3

x（x≥0）交于点Q，记∠xOP=α，且α∈（-

π

2

，

π

2

）
（1）若sinα=

1

3

，求cos∠POQ
（2）求

OP

•

OQ

的最小值．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）若sinα=

1

3

，根据两角和差的余弦公式即可求cos∠POQ
（2）求出P，Q的坐标以及

OP

•

OQ

的表达式，利用辅助角公式将式子进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求出数量积的最小值．

解答： 解：（1）∵射线y=

3

x（x≥0），
∴∠xOQ=

π

3

，
若sinα=

1

3

，则cosα=

1-( 1 3 )2

=

8 9

=

2 2

3

，
则cos∠POQ=cos（

π

3

-α）=cosαcos

π

3

+sinαsin

π

3

=

2 2

3

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

2 2 + 3

6

．
（2）∵∠xOP=α，
∴P（cosα，sinα），
又Q（cosα，

3

cosα），
则

OP

•

OQ

=（cosα，sinα）•（cosα，

3

cosα）=cos²α+

3

cosαsinα
=

1

2

（1+cos2α）+

3

2

sin2α
=sin（2α+

π

6

）+

1

2

，
∵α∈（-

π

2

，

π

2

）
∴2α∈（-π，π），
则2α+

π

6

∈（-

5π

6

，

7π

6

），
∴当2α+

π

6

=-

π

2

时，sin（2α+

π

6

）+

1

2

取得最小值，
最小值为-1+

1

2

=-

1

2

．

点评：本题主要考查三角函数的定义以及两角和差的余弦公式的应用，以及向量数量积的计算，根据三角函数的定义求出点P，Q的坐标是解决本题的关键．