Question

3．已知函数f（x）=cos2x+4sinx${sin^2}（{\frac{x}{2}+\frac{π}{4}}$）．
（1）将函数f（2x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x）的图象，若$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，求函数g（x）的值域；
（2）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足b=2，f（A）=$\sqrt{2}$+1，$\sqrt{3}$a=2bsinA，B∈（0，$\frac{π}{2}$），求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，可得f（2x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（2x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）的值域．
（2）由条件利用正弦定理，求得a的值，可得△ABC的面积．

解答 解：（1）∵$f（x）=cos2x+4sinx{sin^2}（{\frac{x}{2}+\frac{π}{4}}）$=$cos2x+4sinx•\frac{{1-cos（{x+\frac{π}{2}}）}}{2}$ 
=cos2x+2sinx+2sin²x=cos²x-sin²x+2sinx+2sin²x=1+2sinx，
∴函数f（2x）=1+2sin2x 的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数
g（x）=1+2sin2（x-$\frac{π}{6}$）=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，
∵$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，∴$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，
当$x=\frac{π}{12}$时，g（x）_min=0；当$x=\frac{5}{12}π$时，g（x）_max=3，所求值域为[0，3]．
（2）由已知$\sqrt{3}a=2bsinA$及正弦定理得：$\sqrt{3}sinA=2sinBsinA$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∵$0＜B＜\frac{π}{2}$，∴$B=\frac{π}{3}$，由$f（A）=\sqrt{2}+1$得$sinA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
又$a=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}b＜b$，∴$A=\frac{π}{4}$，由正弦定理得：$a=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{6}}}{3}×2×\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．