Question

13．已知圆心为H的圆x²+y²+2x-15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）设直线m与曲线C交于P，Q两点，O为坐标原点，若∠POQ=90°，问$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$是否为定值？若是求其定值，若不是说明理由．

Answer 1

分析 （1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，由|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4可得点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，则其标准方程可求；
（2）分类讨论，设直线OP方程为y=kx（k≠0），与椭圆方程联立可得x²，y²．进而得到|OP|²，同理得到|OQ|²，即可证明为定值．

解答 解：（1）由x²+y²+2x-15=0，得（x+1）²+y²=4²，
∴圆心为H（-1，0），半径为4，
连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|=|MB|，
∴|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4，
又|AH|=2＜4，
故点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设直线OP方程为y=kx（k≠0），联立椭圆方程，解得${x}^{2}=\frac{12}{3+4{k}^{2}}，y=\frac{12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴|OP|²=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$．
同理解得|OQ|²=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4+3{k}^{2}}$．
∴$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{7}{12}$，
OP斜率不存在时，|OP|²=3，|OQ|²=4，$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{7}{12}$
综上所述，$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{7}{12}$是定值．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的计算能力，属中档题．