Question

5．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-$\sqrt{3}$sin2x），$\overrightarrow{b}$=（cosx，1），令函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间．
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=-1，a=$\sqrt{7}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，求边b和c的值（b＞c）．

Answer 1

分析 （1）由题意结合数量积和三角函数的运算可得可得f（x）解析式，利用周期公式可求周期，利用余弦函数的单调性可求单调递减区间；
（2）由（1）结合已知及余弦函数的图象可得A值，利用平面向量数量积的运算可求bc=6，进而利用余弦定理可求b+c=5，联立即可解得b，c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2cos²x-$\sqrt{3}$sin2x=1+cos2x-$\sqrt{3}$sin2x=1+2cos（2x+$\frac{π}{3}$），---------（3分）
∴f（x）的最小正周期T=π，
∵y=cosx在[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）上单调递减，
∴2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的单调减区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，-------------（6分）
（2）f（A）=1+2cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-1，
∴cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-1，
又∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，∴2A+$\frac{π}{3}$=π，∴A=$\frac{π}{3}$，---------（9分）
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，即bc=6，由a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
即7=（b+c）²-18，b+c=5，
又∵b＞c，
∴b=3，c=2．--------（12分）

点评 本题考查平面向量数量积的运算，正弦定理，余弦定理，三角函数的图象和性质，三角函数周期公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属中档题．