Question

18．等比数列{a_n}满足a_n＞0，n=1，2，…，且a₂•a_n-1=2（n≥2），则当n≥2时，log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+log₂a₄+…+log₂a_n-1+log₂a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-1}{2}+lo{g}_{2}{a}_{\frac{n}{2}}，n为奇数}\\{\frac{n}{2}，n为偶数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 n为奇数时，log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+log₂a₄+…+log₂a_n-1+log₂a_n=$lo{g}_{2}[（{a}_{1}{a}_{n}）×（{a}_{2}{a}_{n-1}）×（{a}_{3}{a}_{n-2}）×…×（{a}_{\frac{n-1}{2}}{a}_{\frac{n+3}{2}}）×{a}_{\frac{n}{2}}]$；当n为偶数时，log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+log₂a₄+…+log₂a_n-1+log₂a_n+1=log₂[（a₁a_n）×（a₂a_n-1）×（a₃a_n-2）×…×（${a}_{\frac{n}{2}}{a}_{\frac{n}{2}+1}$）]，由此能求出结果．

解答 解：∵等比数列{a_n}满足a_n＞0，n=1，2，…，且a₂•a_n-1=2（n≥2），
∴当n≥2时，
n为奇数时，
log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+log₂a₄+…+log₂a_n-1+log₂a_n
=$lo{g}_{2}[（{a}_{1}{a}_{n}）×（{a}_{2}{a}_{n-1}）×（{a}_{3}{a}_{n-2}）×…×（{a}_{\frac{n-1}{2}}{a}_{\frac{n+3}{2}}）×{a}_{\frac{n}{2}}]$
=$lo{g}_{2}{2}^{\frac{n-1}{2}}$+$lo{g}_{2}{a}_{\frac{n}{2}}$
=$\frac{n-1}{2}$+$lo{g}_{2}{a}_{\frac{n}{2}}$．
当n为偶数时，
log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+log₂a₄+…+log₂a_n-1+log₂a_n+1
=log₂[（a₁a_n）×（a₂a_n-1）×（a₃a_n-2）×…×（${a}_{\frac{n}{2}}{a}_{\frac{n}{2}+1}$）]
=$lo{g}_{2}{2}^{\frac{n}{2}}$=$\frac{n}{2}$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-1}{2}+lo{g}_{2}{a}_{\frac{n}{2}}，n为奇数}\\{\frac{n}{2}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查对数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．