Question

3．已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得最小值m-1（m≠0）．设f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求二次函数y=g（x）的解析式（假设m为已知常数）；
（2）若曲线y=f（x）上的点P[到点Q（0，2）的距离的最小值为$\sqrt{2}$，求m的值；
（3）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）-kx存在零点，并求出零点．

Answer 1

分析 （1）根据函数的形式及函数的最小值，设出f（x），求出g（x）的导函数，根据导函数是函数的斜率，列出方程，求出a，m的值．
（2）先根据二次函数的顶点式设出函数g（x）的解析式，然后对其进行求导，根据g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行求出a的值，进而可确定函数g（x）、f（x）的解析式，然后设出点P的坐标，根据两点间的距离公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．
（3）先根据（1）的内容得到函数y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x²+2x+m=0，然后先对二次项的系数等于0进行讨论，再当二次项的系数不等于0时，即为二次方程时根据方程的判别式进行讨论即可得到答案．

解答 解：（1）依题可设f（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），
则f′（x）=2ax+2a；
又f′（x）的图象与直线y=2x平行   
∴2a=2     
解得a=1
∵y=f（x）在x=-1处取得最小值为0．
∴m-1=0
∴m=1
∴f（x）=x²+2x+1，
（2）依题可设g（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），则g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；
又g'（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2∴a=1
∴g（x）=（x+1）²+m-1=x²+2x+m，f（x）=$\frac{g（x）}{x}$，
设P（x_o，y_o），则|PQ|²=x₀²+（y0-2）2=x₀²+（x0+$\frac{m}{{x}_{0}}$）2=2x₀²+$\frac{{m}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$+2m≥2$\sqrt{2{m}^{2}}$+2m=2$\sqrt{2}$|m|+2m
当且仅当2x₀²=$\frac{{m}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$时，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值$\sqrt{2}$
当m＞0时，$\sqrt{（2\sqrt{2}+2）m}$=$\sqrt{2}$解得m=$\sqrt{2}$-1
当m＜0时，$\sqrt{（-2\sqrt{2}+2）m}$=$\sqrt{2}$解得m=-$\sqrt{2}$-1
（2）由y=f（x）-kx=（1-k）x+$\frac{m}{x}$+2=0（x≠0），得（1-k）x²+2x+m=0（*）
当k=1时，方程（*）有一解x=-$\frac{m}{2}$，函数y=f（x）-kx有一零点x=-$\frac{m}{2}$；
当k≠1时，方程（*）有二解?△=4-4m（1-k）＞0，
若m＞0，k＞1-$\frac{1}{m}$，
函数y=f（x）-kx有两个零点x=$\frac{-2±\sqrt{4-4m（1-k）}}{2（1-k）}$，即x=$\frac{1±\sqrt{1-m（1-k）}}{k-1}$；
若m＜0，k＜1-$\frac{1}{m}$，
函数y=f（x）-kx有两个零点x=$\frac{-2±\sqrt{4-4m（1-k）}}{2（1-k）}$，即x=$\frac{1±\sqrt{1-m（1-k）}}{k-1}$；
当k≠1时，方程（*）有一解?△=4-4m（1-k）=0，k=1-$\frac{1}{m}$，
函数y=f（x）-kx有一零点x=$\frac{1}{k-1}$=-m
综上，当k=1时，函数y=f（x）-kx有一零点x=-$\frac{m}{2}$；
当k＞1-$\frac{1}{m}$（m＞0），或k＜1-$\frac{1}{m}$（m＜0）时，
函数y=f（x）-kx有两个零点即x=$\frac{1±\sqrt{1-m（1-k）}}{k-1}$；
当k=1-$\frac{1}{m}$时，函数y=f（x）-kx有一零点x=$\frac{1}{k-1}$=-m．

点评 本题主要考查二次函数的顶点式、导数的几何意义、函数零点与方程根的关系．主要考查基础知识的综合运用和学生的计算能力．