Question

13．已知矩形ABCD中，AB=3，BC=1，M，N分别为包含端点的边BC，CD上的动点，且满足|$\overrightarrow{BM}$||$\overrightarrow{CD}$|=|$\overrightarrow{BC}$||$\overrightarrow{CN}$|，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{MN}$的最小值是（　　）

• A． -7
• B． -10
• C． -8
• D． -9

Answer 1

分析 根据条件，可分别以DC，CB所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并设$|\overrightarrow{CN}|=x，0≤x≤3$，进而可求得$|\overrightarrow{BM}|=\frac{x}{3}$，从而可写出M，N，A的坐标，从而求出向量$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{MN}$的坐标，进行数量积的坐标运算即可得出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MN}=-\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{8x}{3}$，这样配方即可求出该数量积的最小值．

解答 解：分别以DC，CB所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设$|\overrightarrow{CN}|=x$，0≤x≤3；
∵$|\overrightarrow{BM}||\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{CN}|$；
∴$3|\overrightarrow{BM}|=x$；
∴$|\overrightarrow{BM}|=\frac{x}{3}$；
∴得：$M（0，1-\frac{x}{3}），N（-x，0），A（-3，1）$；
∴$\overrightarrow{MN}=（-x，\frac{x}{3}-1），\overrightarrow{AM}=（3，-\frac{x}{3}）$；
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MN}=-3x-\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{x}{3}$=$-\frac{1}{9}（x+12）^{2}+\frac{144}{9}$；
∵0≤x≤3；
∴x=3时，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MN}$取得最小值-9．
故选D．

点评 考查通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，以及配方法求二次函数的最值，数量积的坐标运算．