Question

3．已知正数数列{a_n}满足：S_n=n²+2n-2，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项a_n； 
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．即可得出．
（2）利用裂项相消法解答．

解答 解：（1）n=1时，a₁=S₁=1；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-2-[（n-1）²+2（n-1）-2]=2n+1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n+1，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由（1）知，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n+1，n≥2}\end{array}\right.$．
则b₁=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{5}$，
b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
所以T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{3n-2}{10n+15}$．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消求和法是解决本题的关键．