Question

1．（已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．由a₃=7，a₅+a₇=26，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得a₁，d即可得出．
（2）由（1）知a_n=2n+1，可得b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$•（$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+1}$），运用裂项相消求和即可得到．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．
∵a₃=7，a₅+a₇=26，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+2n．
（2）由（1）知a_n=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{4}$•（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$•（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$，
即数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查了等差数列通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．